18.2.2 菱形
常识要素：
性质：
①边——两组对边分别平行且相等，邻边相等；
②角——两组对角分别相等；
③对角线——两条对角线垂直且互相平分，每条对角线平分一组对角
断定：
①一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②对角线垂直的平行四边形是菱形；
③四条边相等的四边形是菱形
1、单选题
1．下列性质中，菱形具备而矩形未必具备的是
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
2．已知四边形ABCD中，
，对角线AC，
BD相交于点O.下列结论肯定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=3
0°，则菱形ABCD的面积是（）
A．18 B．18
C．36 D．36
4．菱形A
BCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
5．如图，在菱形ABCD中，
于E，
，
，则菱形ABCD的周长是
A．5 B．10 C．8 D．12
6．如图，菱形
中，过顶点
作
交对角线
于
点，已知
，则
的大小为
A．
B． C．
D．
7．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝4
，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（）
A．4 B．2 C．2
D．8
8．如图，在平面直角坐标系中，点
， 将
沿
轴向右平移得
,此时四边形是菱形，则点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）
A．对角线互相垂直且相等的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的平行四边形
D．对角线互相平分且垂直的四边形
10．如图，在四边形中，对角线
，相交于点
，且，.若要使四边形为菱形，则可以添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
2、填空题
11．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则它的面积是_____．
12．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣1，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____．
13．如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB=AC；②AB=BC；③AC=BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形
为菱形的是__（填序号）．
14．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易了解当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那样菱形周长的最大值是_________．
3、解答卷
15．如图，在菱形ABCD中，作于E，BF⊥CD于F，求证：
．
16．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F.
求证：四边形AECD是菱形；
若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
17．小宇将两张长为8宽为2的矩形条交叉如图①，发现重叠部分可能是一个菱形．
（1）请你帮助小宇证明四边形ABCD是菱形．[来源:Z#xx#k.Com]
（2）小宇又发现：如图②时，菱形ABCD的周长最小，等于__________；
（3）如图
③时
菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长．
18．如图，在中，，是
的中点，是
的中点，过点
作
交的延长线于点
（1）求证：四边形
是菱形
（2）若，求菱形的面积
答案
1．C
2．A
3．B
4．A
5．C
6．D
7．C
8．A
9．D[来源:学+科+网]
10．D
11．24
12．（﹣5，3）
13．②
14．17
15.证明：∵菱形ABCD，
∴
，，
∵，，
∴，
在与
中，
，
∴，[来源:学。科。网Z。X。X。K]
∴
．
16.证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形．
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴BE＝EC＝AE.
∴四边形AECD是菱形．
解：如图，过点A作AH⊥BC于点H.
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，由勾股定理得AC＝8.
再依据面积关系，有S△ABC＝BC·AH＝AB·AC，
∴AH＝.
∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE＝5.
∵S菱形AECD＝CD·EF＝CE·AH，
∴EF＝AH＝.
17.（1）证明：如图①，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同（对边平行），
∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF，
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；[来源:学*科*网]
（2）如图②，当两纸条互相垂直时，菱形的周长最小，此时菱形的边长等于纸条的宽，为2，
所以，菱形的周长＝4×2＝8．
故答案是：8；
（3）如图③，菱形的一条对角线与矩形的对角线重合时，周长最大，
设AB＝BC＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△DCE中，DC2＝DE2+CE2，
即x2＝（8﹣x）2+22，
解得x＝，
所以，菱形的周长＝4×＝17．
18.（1）证明： ∵，∴
，
∵是的中点，是边上的中线，∴，
在和
中，
，
∴
，∴．
∵，∴．
∵，∴四边形是平行四边形，[来源:学科网]
∵，是的中点，是的中点，
∴
，∴四边形是菱形；
（2）如图，连接，
∵，
∴四边形
是平行四边形，∴，
∵四边形是菱形，∴
